Quando, em 1975, um aluno da 2ª série me fez a pergunta acima fiquei atônita, afinal de contas eu nunca tinha parado para pensar nisso. Estava no meu primeiro emprego como professora numa escola municipal em Nilópolis corrigindo animadamente as tarefas de casa, com as crianças dando as respostas. Quando coloquei contas no quadro e eles começaram a responder, eu disse “tanto mais tanto dá ... e vai...” (referindo-me à adição com reserva), nesse momento surgiu a questão. Fiquei tentada a responder da mesma forma que minha professora de matemática do Curso Normal respondia: “é uma convenção”, mas não me sentiria bem se não soubesse responder a uma pergunta feita por um menininho sardento de oito anos.
Então, como numa revelação,
pela primeira vez na vida, pensei no porquê. Até aquela data, eu sempre fizera
as contas automaticamente sem atentar para as ordens e classes numéricas, elas
eram tão naturais na minha vida que não me lembro de quando tomei conhecimento
delas, nem de que forma. Mas aquela criança não se deixou convencer pelo que a
professora instruíra, ela queria uma explicação lógica e não seguir
interiorizando o que não compreendia. “Ensinei” classes e ordens, a turma
aparentemente aprendeu, e, assim, prossegui com as outras turmas com que
trabalhei no primeiro segmento do Ensino Fundamental, achando sempre que estava
sendo compreendida, pois eram poucas as crianças que não “entendiam” que uma
conta sempre começava pela ordem das unidades (exceto a divisão) e que nunca se
devem colocar dois algarismos numa mesma ordem numérica. Até que me deparei com
o construtivismo.
A
abordagem tradicional
Primeira surpresa: uma
dezena não é outro nome para dez unidades, “não é um grupo concreto de unidades
que podem ser reagrupadas; é antes de tudo, uma ideia de maior grau de
abstração que a ideia de unidade”, diz Kamii (2004a:82).
Como assim? - perguntariam
meus alunos.
Pela abordagem tradicional
seria justamente isso, dez unidades formariam uma dezena e ponto, tanto que os
professores das crianças pequenas as fazem juntar objetos de dez em dez e
amarrá-los ou contorná-los, passando esse “separado” a denominar-se dezena. Ao
representar o número a criança sabe que, por exemplo, em 34 unidades, os três
amarrados representam 30 unidades e os quatro elementos restantes representam 4
unidades. Isso mesmo, 30 unidades + 4 unidades, porque, dependendo da série em
que esteja, ela irá contar um a um os itens dentro de cada amarrado e, muitas
vezes, se for solicitada a somar as dezenas e unidades ela dirá que tem ao todo
7, deixando a professora perplexa.
Kamii (2004a:204/205) descreve o resultado de
um teste, no qual ela mostrava às crianças
individualmente um cartão com o numeral 16 escrito e pedia que estas separassem 16 feijões de um monte. Quando ela circulava o 6 do 16 com o dedo, perguntava o que aquela parte significava e
solicitava às crianças que mostrassem com feijões o que aquela parte[1]
queria dizer, elas não tinham nenhuma dificuldade em mostrar 6 feijões, mas quando a examinadora
circulava o 1 do 16 e formulava as mesmas questões,
quase todas as crianças que haviam estudado matemática de forma tradicional
mostraram um único feijão. Após a contestação da examinadora, algumas crianças
reconheciam que havia algo estranho, mas a maioria não percebia nada de errado
no que tinha feito. Essa dificuldade acompanha a criança até a terceira ou
quarta série, embora o valor posicional seja ensinado na escola desde a
primeira série, porque “quando a resposta certa é incompreensível para a
criança, sua imposição só lhe ensinará a acompanhar silenciosamente o adulto em
sua posição de poder”[2],
foi isso o que aconteceu comigo e era isso o que eu impunha aos meus educandos.
Piaget
considera a síntese de dois tipos de relações (ordem e inclusão hierárquica)
como constitutiva do número. Na relação de ordem a criança consegue ordenar
mentalmente os objetos, quantificando-os. Na relação hierárquica, ela não só
ordena os objetos como os inclui numa classe maior sabendo que o “um” está
contido no “dois”, o “dois” no “três” e assim sucessivamente. Para que a criança seja capaz de pensar no
número 34 como compreendendo 3 dezenas e 4 unidades, ela precisa construir o
sistema das dezenas sobre o sistema de unidades, por abstração reflexiva[3].
“No sistema de dezenas a criança deve igualmente ordenar mentalmente as
unidades, incluindo o ‘um’ no ‘dois’, o ‘dois’ no ‘três’ etc.; embora os ‘uns’
nesse novo sistema sejam na verdade ‘dez’”[4].
(KAMII, 2004a:45/46)
Diz ainda a autora, que os adultos não têm como
avaliar a dificuldade que sentem as crianças pequenas para construir o sistema
de dezenas, visto que a construção do sistema de unidades já é uma tarefa
bastante complexa. Elas precisam de tempo suficiente para construir o sistema
de unidades a fim de que ele possa se tornar uma base sólida para o sistema de
dezenas e é por isso que este não deve ser trabalhado nas duas séries iniciais
(KAMII, 2004a:52).
O
enigmático processo de construção do número
Segundo Piaget (apud KAMII, 2004b), o número é uma
estrutura mental difícil de ser construída. Em seus estudos, percebeu que para
estar apta a alcançar esse entendimento, a criança necessita ter desenvolvido
os níveis de conhecimento físico e lógico-matemático.
No
conhecimento físico (abstração empírica) a criança analisa apenas um aspecto do
objeto, por exemplo, de posse de um lápis vermelho, a criança isola sua cor,
seu peso ou sua forma (conhecimento físico). Já no lógico-matemático (abstração
reflexiva) ela precisa ter construída uma estrutura de coordenação de relações
para que possa distinguir várias características no objeto: diante de dois
lápis a criança percebe a diferença
de cor, de forma ou de peso. Para se perceber a diferença ou a semelhança
os objetos têm que estar numa relação, um só objeto não é suficiente para se
estabelecer essa relação, mais de um objeto precisam ser comparados e o sujeito
por sua própria decisão realizará a relação, que pode ser estabelecer se são
parecidos ou não, de acordo com sua reflexão subjetiva. A fonte do conhecimento
físico é parcialmente[5]
externa aos indivíduos. A fonte do conhecimento lógico-matemático é interna.
Kamii (2004b) considera o termo abstração construtiva em lugar de abstração
reflexiva mais fácil de compreender que esta abstração não representa “apenas o
enfoque sobre algo já existente nos objetos”. (p.17)
Esta
autora (2004b) chama a atenção para o fato de muitos professores apresentarem
conjuntos de objetos às crianças e pedirem que elas determinem os conjuntos que
tenham a mesma propriedade de número. Segundo ela, o equívoco se encontra na
suposição de que “a criança aprende conceitos sobre número ao abstrair a
‘propriedade de número’ a partir de vários conjuntos, do mesmo modo que elas
abstraem a cor e outras propriedades físicas dos objetos” (KAMII, 2004b:16). As
crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos nem simplesmente
manipulando objetos, “elas constroem esses conceitos pela abstração reflexiva à
medida em que atuam (mentalmente) sobre os objetos.”[6]
O
ideal, conforme a autora, seria apresentar um conjunto à criança (por exemplo,
os coleguinhas sentados a mesma mesa) e pedir-lhe que faça um outro conjunto
comparando-o ao que já está feito (trazer lápis suficientes para todos), porque
quando se pede a uma criança que julgue dois conjuntos já feitos “a razão que a
criança tem para compará-los é apenas a de que o adulto quer uma resposta” [7] e,
neste caso, “comparar conjuntos é uma atividade passiva na qual a criança está
limitada a três respostas possíveis: os dois conjuntos são iguais, um tem mais,
ou o outro tem mais”[8].
Quando a criança tem que fazer um
conjunto ela começa com zero, e vai pegando sempre mais um, até decidir quando
parar, essa abordagem tem maior valor educacional, pois é a criança que decide
quando deve interromper a ação de adicionar mais um[9],
por isso, para “ensinar” número o professor, em vez de enfocar apenas a
quantificação, deve incentivar a criança a pôr tudo em relações durante todo
tempo (tipos de coisas, idéias e eventos)[10].
KAMII, Constance. Aritmética: Novas perspectivas – Implicações da teoria de Piaget.
Trad. Marcelo Cestari T. Lellis, Marta Rabioglio e Jorge José de Oliveira. 9ª
Ed. Campinas, SP: Papirus, 2004a.
__________ A criança e o número: implicações da teoria de Piaget para a atuação
com escolares de 4 a
6 anos. Trad. Regina A. de Assis. 32ª Ed. Campinas, SP: Papirus, 2004b.
[1]
Ela acha importante o uso dessa
palavra, para não influenciar o pensamento infantil.
[2] Id., 2004b:72
[3] “... a abstração reflexiva procede por
reconstruções que superam as construções anteriores, integrando-as”. BATTRO,
A.M.
[4] Id., 2004a:45/46
[5] Grifo da autora, que justifica o termo
utilizado dizendo que Piaget afirma que “no âmbito da realidade psicológica da
criança, não é possível que um dos tipos de abstração exista sem a presença do
outro.”p. 16/17.
*Texto inicialmente publicado como capítulo de minha dissertação (Mestrado em Educação UFRJ).
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