A matemática e o construtivismo

Abaixo a Matemática do papagaio - Fala Mestre com Thomas O'brien

O educador Thomas O`Brien trocou a decoreba pelo construtivismo. E sugere que seus colegas sigam o mesmo caminho

Maria de la Luz Mariz (novaescola@atleitor.com.br)

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"O que eu chamo de matemática dopapagaio é fazer o aluno decorarconteúdos para apresentá-los toda vez que o professor desejar". Foto: Alexandre Marchetti

"Comecei a lecionar há 35 anos pelo modo tradicional: anestesiava o paciente, empurrava fórmulas e conceitos goela abaixo e depois testava para ver se estava tudo bem digerido!" Com essa frase, o matemático e educador americano Thomas O’Brien quebra logo de início as expectativas de quem imagina encontrar nele um sisudo estudioso da Aritmética. Aos 61 anos de idade, construtivista ferrenho, ele lança mão do bom humor para pregar contra os métodos de ensino antigos "e ultrapassados". Tanto que criou um apelido para as velhas fórmulas de sala de aula: "É a matemática do papagaio".
Diretor do Centro de Formação de Professores da Universidade do Sul de Illinois, em Edwardsville, O’Brien estuda há mais de trinta anos a construção do pensamento matemático na criança - vinte deles como pesquisador da Organização do Tratado do Atlântico Norte (Otan). Tem diversos livros publicados em língua inglesa e contribui para a elaboração dos currículos nacionais da disciplina nos Estados Unidos. Sua conversão ao construtivismo aconteceu em casa, graças a seus três filhos. "Observando o desenvolvimento cognitivo deles, eu vi como constroem uma visão de mundo significativa, inteligível e previsível a partir de sua própria experiência, acumulada desde o nascimento", explica.
Essas conclusões coincidem com as idéias do psicólogo e filósofo suíço Jean Piaget (1896-1980), que O’Brien passou a usar como guia nas ações pedagógicas. Nesta entrevista, concedida durante visita a São Paulo, ele fala de suas teorias sobre o ensino de Matemática, critica a memorização e destaca os fundamentos básicos para lecionar com qualidade.

Por que o senhor chama o jeito tradicional de ensinar de matemática do papagaio?
Thomas O’Brien: Porque ele se apóia na memorização de fatos e procedimentos totalmente desvinculados do contexto da vida real. O princípio é ao mesmo tempo básico e desprezível: empurrar conceitos que devem ser relembrados e recitados pelos alunos toda vez que o professor desejar. É mais ou menos o mesmo processo adotado com os papagaios ensinados.

Esse sistema ainda funciona em muitos países? 
Sim, e não é um problema apenas de regiões pobres ou em desenvolvimento. Infelizmente, a matemática do papagaio ainda é praticada em um grande número de salas de aula no mundo todo, inclusive em nações ricas, como os Estados Unidos.

Por que o senhor considera esse sistema tão ruim? 
Porque ele restringe o ensino à Aritmética. Outras áreas importantes da disciplina, que não se prestam à simples memorização, como a Geometria, ficam desprezadas. Além disso, as crianças são proibidas de usar calculadoras e não têm espaço para desenvolver o raciocínio ou inventar estratégias de resolução de problemas originais.

Alguns educadores argumentam que o uso da calculadora deixaria a mente "preguiçosa"… Se calcular trouxesse algum ganho de inteligência, os computadores seriam grandes gênios, pois não há quem bata a rapidez com que calculam! Ou melhor, desde que haja alguém para ligá-los, digitar os comandos adequados e avaliar os resultados obtidos. Aí, sim, eles mostram sua inesgotável capacidade de executar sem descanso tarefas maçantes e repetitivas, como calcular. O grande talento das pessoas é pensar. A elas devemos pedir o que é próprio da mente humana: selecionar dados, organizar informações, elaborar hipóteses, formular questionamentos, avaliar resultados e tantas outras coisas desse tipo.

Saber de cor conceitos, dados e fatos matemáticos não é um sinal de que eles foram aprendidos? De forma alguma! É preciso deixar claro que eu não tenho nada contra a memória em si. Acho que ela é muito importante - para compreender isso, basta ver uma pessoa que sofra do mal de Alzheimer, às vezes incapacitada de lembrar o próprio nome. Mas, no meu entender, a memória é apenas uma de nossas muitas capacidades intelectuais. No caso da educação matemática, mesmo na faixa dos 5 ou 6 anos, é a construção de uma intrincada teia de idéias que leva ao saber, não uma coleção de fatos prontos apresentados a ela.

É possível comprovar esse ponto de vista? 

"No método tradicional, as crianças são proibidas de usar calculadora e não têm espaço para desenvolver o raciocínio".Foto: Leonardo Carneiro

 Claro. Uma pesquisa sobre determinados fatos numéricos, feita por mim e mais dois colaboradores com turmas de 4ª, 5ª e 6ª séries, mostrou a inutilidade da memorização pura e simples. Uma das perguntas era: "Quanto é 6 x 3?" Quase todos os jovens responderam corretamente. Mas, quando pedimos para relacionar a questão a uma situação da vida real ou para fazer uma frase na qual aparecesse o fato de que 6 x 3 = 18, os resultados mudaram drasticamente: 75% dos alunos de 4a série, 85% dos de 5a e 30% dos de 6a falharam em criar um exemplo de multiplicação. Pelo menos metade das histórias incorretas confundiam a multiplicação com a adição. Só para citar um exemplo, talvez o mais dramático, veja como uma das crianças explicou o que havia compreendido: "Seis meninos e três meninas foram a uma festa. Quantas pessoas havia lá? Dezoito". É demais, não?
Que princípios básicos um profissional do Ensino Fundamental deve seguir para oferecer uma educação de qualidade? Em primeiro lugar, ter sempre em mente que o conhecimento é uma construção pessoal. Isto é, cada pessoa tem seu próprio modo de raciocinar para chegar a uma conclusão. "Minha" cidade de São Paulo, minha visão como estrangeiro tem muito em comum com a de meus amigos e de outros turistas, mas nunca será igual à deles porque cada um de nós apreendeu e organizou as impressões sobre o "ambiente São Paulo" de uma forma pessoal. Como os adultos nesse exemplo, as crianças também têm seu jeito individual de captar a realidade - e ela será sempre diferente para cada uma. Não se deve exigir, portanto, que toda a classe raciocine da mesma maneira para chegar à solução de um problema. Outra característica natural da mente é o questionamento, a busca do novo. A mente nunca está satisfeita. Assim que atinge um objetivo, logo procura outro desafio, cada vez mais difícil de conquistar. Esses processos naturais de aprendizagem constante podem ser interrompidos se o educador passa a dizer aos alunos o que (e como) eles devem pensar.

Levando em conta essas diretrizes, como deveriam ser as atividades propostas dentro de uma sala de aula?
O melhor é evitar as instruções diretas. Partindo de tarefas, problemas e investigações adequadas ao nível de desenvolvimento da turma, o professor deve levar todos os estudantes a construir relações, princípios e idéias. E, tão importante quanto, oferecer certo nível de dificuldade, de modo a motivar e desafiar os jovens.

Dentro desses preceitos, é possível trabalhar em grupos com a classe?
Não só é possível como considero indispensável, pois ao propor atividades em grupos estamos também transmitindo a importância da cooperação. Muitas das sugestões de minha coleção de livros Desafios e Investigações podem ser realizadas em conjunto pelos alunos. Um exemplo é o desafio número 21 do primeiro volume, destinado a investigar em crianças de 8 anos situações envolvendo probabilidades. A classe deve ser dividida em equipes de três ou quatro. Pede-se, então, que um dos estudantes imagine um número de dois algarismos. Os demais fazem perguntas, tentando descobrir o número pensado pelo colega. As questões devem partir de táticas, anotadas pelas equipes conforme o trabalho se desenrola. Uma regra, determinada pelo professor, pode ser proibir os números com algarismos repetidos, como 44 ou 66, porque eles são mais óbvios. O ideal é fazer com que o desafio envolva as características matemáticas. Por exemplo, questionar se o número misterioso é par ou ímpar, se tem um determinado algarismo nele e assim por diante.

Como se dá a avaliação nesse tipo de ensino proposto pelo senhor?

"Numa concepção construtivista, as dificuldades são um desafio a ser superado pelos alunos com a mediação do mestre". Foto: Jaques Faing

Considerando que a construção do conhecimento é um processo, a avaliação também deve ser processual e acompanhar o caminho seguido individualmente por cada estudante. Além disso, precisa ser contínua, transformando-se num rico instrumento para o educador conhecer sua turma, avaliar a eficiência do próprio trabalho e saber se é o caso de buscar novos caminhos para superar eventuais dificuldades. Numa concepção construtivista de ensino, as dificuldades são na verdade um desafio a ser superado pelos alunos com a mediação do mestre.
Como educador construtivista, que aspectos das idéias de Piaget o sr. destaca? 
A maioria das pesquisas em Psicologia e Educação tem como objetivo descobrir qual é a reação de um certo organismo a um determinado estímulo. Por exemplo, é comum os estudiosos proibirem os indivíduos estudados de dormir, testarem um conjunto de questões X com um grupo e um conjunto de questões Y com outro, e observarem as reações. Piaget passou mais de cinqüenta anos pesquisando justamente a situação contrária: como o organismo interpreta o estímulo? O que faz com ele? Como atua sobre ele? Para reforçar a importância dessa questão costumo contar uma história vivida por um conhecido meu. Ele perguntou a um garoto de 5 anos: "Quanto são 9 + 9?". O menino respondeu: "Fácil. Nove é menos que 10.

Se 10 + 10 são 20, logo 9 + 9 são 19". Alguns professores poderiam concentrar-se na resposta e dizer: "Errado!" ou "Não, querido, o certo é dezoito. Venha cá, eu vou mostrar a você". Atitudes assim desestimulam a criança a pensar por si própria, a elaborar cada vez mais sua rede interna de conhecimento. Acertadamente, meu amigo valorizou mais o complexo raciocínio realizado pelo menino para chegar à sua conclusão do que o fato de dezenove não ser a resposta matematicamente correta. Para estimular ainda mais a mente de seu pequeno aprendiz, perguntou: "E quanto são 9 + 10?" Ao fazer isso, ele colocou um novo desafio e atingiu o que, na minha opinião, deveriam ser os principais objetivos de qualquer processo educacional: ensinar a pensar, a construir alternativas e a desenvolver a inteligência. Numa visão construtivista, isso significa ser capaz de adaptar-se às demandas do ambiente. Em resumo, permitir que o aprendiz transforme o pensamento em ação e a ação, em movimento.

Fonte:http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/abaixo-matematica-papagaio-fala-mestre-thomas-brien-427196.shtml?

“POR QUE UM VIRA DEZ E DEZ VIRA UM?” A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO PELA CRIANÇA

Quando, em 1975, um aluno da 2ª série me fez a pergunta acima fiquei atônita, afinal de contas eu nunca tinha parado para pensar nisso. Estava no meu primeiro emprego como professora numa escola municipal em Nilópolis corrigindo animadamente as tarefas de casa, com as crianças dando as respostas. Quando coloquei contas no quadro e eles começaram a responder, eu disse “tanto mais tanto dá ... e vai...” (referindo-me à adição com reserva), nesse momento surgiu a questão. Fiquei tentada a responder da mesma forma que minha professora de matemática do Curso Normal respondia: “é uma convenção”, mas não me sentiria bem se não soubesse responder a uma pergunta feita por um menininho sardento de oito anos.

Então, como numa revelação, pela primeira vez na vida, pensei no porquê. Até aquela data, eu sempre fizera as contas automaticamente sem atentar para as ordens e classes numéricas, elas eram tão naturais na minha vida que não me lembro de quando tomei conhecimento delas, nem de que forma. Mas aquela criança não se deixou convencer pelo que a professora instruíra, ela queria uma explicação lógica e não seguir interiorizando o que não compreendia. “Ensinei” classes e ordens, a turma aparentemente aprendeu, e, assim, prossegui com as outras turmas com que trabalhei no primeiro segmento do Ensino Fundamental, achando sempre que estava sendo compreendida, pois eram poucas as crianças que não “entendiam” que uma conta sempre começava pela ordem das unidades (exceto a divisão) e que nunca se devem colocar dois algarismos numa mesma ordem numérica. Até que me deparei com o construtivismo.

A abordagem tradicional

Primeira surpresa: uma dezena não é outro nome para dez unidades, “não é um grupo concreto de unidades que podem ser reagrupadas; é antes de tudo, uma ideia de maior grau de abstração que a ideia de unidade”, diz Kamii (2004a:82).

Como assim? - perguntariam meus alunos.

Pela abordagem tradicional seria justamente isso, dez unidades formariam uma dezena e ponto, tanto que os professores das crianças pequenas as fazem juntar objetos de dez em dez e amarrá-los ou contorná-los, passando esse “separado” a denominar-se dezena. Ao representar o número a criança sabe que, por exemplo, em 34 unidades, os três amarrados representam 30 unidades e os quatro elementos restantes representam 4 unidades. Isso mesmo, 30 unidades + 4 unidades, porque, dependendo da série em que esteja, ela irá contar um a um os itens dentro de cada amarrado e, muitas vezes, se for solicitada a somar as dezenas e unidades ela dirá que tem ao todo 7, deixando a professora perplexa.

 Kamii (2004a:204/205) descreve o resultado de um teste, no qual ela mostrava às crianças  individualmente um cartão com o numeral 16 escrito e pedia que estas separassem 16 feijões de um monte. Quando ela circulava o 6 do 16 com o dedo, perguntava o que aquela parte significava e solicitava às crianças que mostrassem com feijões o que aquela parte[1] queria dizer, elas não tinham nenhuma dificuldade em mostrar 6 feijões, mas quando a examinadora circulava o 1 do 16 e formulava as mesmas questões, quase todas as crianças que haviam estudado matemática de forma tradicional mostraram um único feijão. Após a contestação da examinadora, algumas crianças reconheciam que havia algo estranho, mas a maioria não percebia nada de errado no que tinha feito. Essa dificuldade acompanha a criança até a terceira ou quarta série, embora o valor posicional seja ensinado na escola desde a primeira série, porque “quando a resposta certa é incompreensível para a criança, sua imposição só lhe ensinará a acompanhar silenciosamente o adulto em sua posição de poder”[2], foi isso o que aconteceu comigo e era isso o que eu impunha aos meus educandos.

Piaget considera a síntese de dois tipos de relações (ordem e inclusão hierárquica) como constitutiva do número. Na relação de ordem a criança consegue ordenar mentalmente os objetos, quantificando-os. Na relação hierárquica, ela não só ordena os objetos como os inclui numa classe maior sabendo que o “um” está contido no “dois”, o “dois” no “três” e assim sucessivamente. Para que a criança seja capaz de pensar no número 34 como compreendendo 3 dezenas e 4 unidades, ela precisa construir o sistema das dezenas sobre o sistema de unidades, por abstração reflexiva[3]. “No sistema de dezenas a criança deve igualmente ordenar mentalmente as unidades, incluindo o ‘um’ no ‘dois’, o ‘dois’ no ‘três’ etc.; embora os ‘uns’ nesse novo sistema sejam na verdade ‘dez’”[4]. (KAMII, 2004a:45/46)

Diz ainda a autora, que os adultos não têm como avaliar a dificuldade que sentem as crianças pequenas para construir o sistema de dezenas, visto que a construção do sistema de unidades já é uma tarefa bastante complexa. Elas precisam de tempo suficiente para construir o sistema de unidades a fim de que ele possa se tornar uma base sólida para o sistema de dezenas e é por isso que este não deve ser trabalhado nas duas séries iniciais (KAMII, 2004a:52).

O enigmático processo de construção do número

Segundo Piaget (apud KAMII, 2004b), o número é uma estrutura mental difícil de ser construída. Em seus estudos, percebeu que para estar apta a alcançar esse entendimento, a criança necessita ter desenvolvido os níveis de conhecimento físico e lógico-matemático.

No conhecimento físico (abstração empírica) a criança analisa apenas um aspecto do objeto, por exemplo, de posse de um lápis vermelho, a criança isola sua cor, seu peso ou sua forma (conhecimento físico). Já no lógico-matemático (abstração reflexiva) ela precisa ter construída uma estrutura de coordenação de relações para que possa distinguir várias características no objeto: diante de dois lápis a criança percebe a diferença de cor, de forma ou de peso. Para se perceber a diferença ou a semelhança os objetos têm que estar numa relação, um só objeto não é suficiente para se estabelecer essa relação, mais de um objeto precisam ser comparados e o sujeito por sua própria decisão realizará a relação, que pode ser estabelecer se são parecidos ou não, de acordo com sua reflexão subjetiva. A fonte do conhecimento físico é parcialmente[5] externa aos indivíduos. A fonte do conhecimento lógico-matemático é interna. Kamii (2004b) considera o termo abstração construtiva em lugar de abstração reflexiva mais fácil de compreender que esta abstração não representa “apenas o enfoque sobre algo já existente nos objetos”. (p.17)

Esta autora (2004b) chama a atenção para o fato de muitos professores apresentarem conjuntos de objetos às crianças e pedirem que elas determinem os conjuntos que tenham a mesma propriedade de número. Segundo ela, o equívoco se encontra na suposição de que “a criança aprende conceitos sobre número ao abstrair a ‘propriedade de número’ a partir de vários conjuntos, do mesmo modo que elas abstraem a cor e outras propriedades físicas dos objetos” (KAMII, 2004b:16). As crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos nem simplesmente manipulando objetos, “elas constroem esses conceitos pela abstração reflexiva à medida em que atuam (mentalmente) sobre os objetos.”[6]

O ideal, conforme a autora, seria apresentar um conjunto à criança (por exemplo, os coleguinhas sentados a mesma mesa) e pedir-lhe que faça um outro conjunto comparando-o ao que já está feito (trazer lápis suficientes para todos), porque quando se pede a uma criança que julgue dois conjuntos já feitos “a razão que a criança tem para compará-los é apenas a de que o adulto quer uma resposta” [7] e, neste caso, “comparar conjuntos é uma atividade passiva na qual a criança está limitada a três respostas possíveis: os dois conjuntos são iguais, um tem mais, ou o outro tem mais”[8]. Quando a criança tem que fazer um conjunto ela começa com zero, e vai pegando sempre mais um, até decidir quando parar, essa abordagem tem maior valor educacional, pois é a criança que decide quando deve interromper a ação de adicionar mais um[9], por isso, para “ensinar” número o professor, em vez de enfocar apenas a quantificação, deve incentivar a criança a pôr tudo em relações durante todo tempo (tipos de coisas, idéias e eventos)[10].

KAMII, Constance. Aritmética: Novas perspectivas – Implicações da teoria de Piaget. Trad. Marcelo Cestari T. Lellis, Marta Rabioglio e Jorge José de Oliveira. 9ª Ed. Campinas, SP: Papirus, 2004a.

__________ A criança e o número: implicações da teoria de Piaget para a atuação com escolares de 4 a 6 anos. Trad. Regina A. de Assis. 32ª Ed. Campinas, SP: Papirus, 2004b.

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[1] Ela acha importante o uso dessa palavra, para não influenciar o pensamento infantil.

[2] Id., 2004b:72

[3] “... a abstração reflexiva procede por reconstruções que superam as construções anteriores, integrando-as”. BATTRO, A.M.

[4] Id., 2004a:45/46

[5] Grifo da autora, que justifica o termo utilizado dizendo que Piaget afirma que “no âmbito da realidade psicológica da criança, não é possível que um dos tipos de abstração exista sem a presença do outro.”p. 16/17.

[6] Ibid., p. 58

[7] Ibid., p. 57

[8] Ibid., p. 57

[9] Ibid., p. 58

[10] Ibid., p. 70

*Texto inicialmente publicado como capítulo de minha dissertação (Mestrado em Educação UFRJ).

Uma tarde com Lola

11/4/11

É pedido à Lola que escreva no quadro números de dez em dez. Ela o faz, sem dificuldades, até o número 100. A partir de então, coloca 10010, 10020, 10030, etc. Nesse momento, percebe que estes estão muito grandes e retira o último zero, transformando-os em 1001, 1002, 1003, ..., então, entro em pânico, eu já havia lido sobre isso, mas não sabia como agir naquele momento. Intervenho perguntando-lhe se lembrava-se do estudo que havíamos feitos sobre ordens e classes. Respondeu-me que sim: unidade, dezena, centena.

Voltei com ela ao material dourado e lhe pedi que me mostrasse 110. Mostrou-me uma placa (100) e uma barra (10). Perguntei-lhe, quantas unidades estavam representadas na barra, respondeu corretamente 10. Pedi-lhe então que escrevesse 110 no quadro valor de lugar. Escreveu 1 na ordem das centenas e 1 na ordem das dezenas, deixando a ordem das unidades em branco. Voltei ao material dourado e perguntei o que colocaria na ordem das unidades, ficou pensando, coloquei um cubinho ao lado da barra e perguntei se ali havia cento e dez, disse-me que não, pois o cubinho representava uma unidade, então, tínhamos 111. Decidiu, então, que nada colocaria e completou o espaço vazio com um zero (certamente por saber que o zero em matemática representa o nada, o nenhum).

Desenhei uma tabela no quadro e a pedi para completar de dez em dez, recomeçou a escrita, escrevendo até o 190. Não conseguiu escrever nada depois disso, colocava o 1 da centena, mas sabendo que não há algarismo depois do nove, o apagava sem saber o que fazer. Aguardei alguns minutos por um insight, não tendo ocorrido, chamei-a de volta ao material dourado. Pedi-lhe que formasse 190 no material, lhe entregando a placa que representa a centena. Lola colocou a placa sobre a mesa e foi pegando barras que em muito ultrapassavam noventa. Vendo que a tinha tentado influenciar e que ela não estava conseguindo formar 190 com a placa da centena mais as barras, propus-lhe recomeçar, devolvendo todas as peças para a caixa. Lola pegou barras, eu nada disse, acompanhando seu raciocínio. Quando completou dez barras, perguntou-me: posso trocar? Tendo a resposta afirmativa trocou-as por uma placa e pegou mais nove barras.

Pode parecer estranho, mas ela não conseguiu completar o numeral sem elaborar sozinha que uma placa corresponde a dez barras, embora já tenhamos trabalhado isso anteriormente.

Após ter completado 190, disse-lhe para continuar a contagem de dez em dez. ela pegou dez cubinhos (para meu espanto, que julgava que pegaria uma barra), trocou-os por uma barra, contou a quantidade de barras e trocou-as por uma placa.

Perguntei-lhe quantas unidades tinha agora e ela não soube responder. Peguei uma placa e perguntei quantas unidades tinha, respondeu corretamente (100) peguei a outra e fiz a mesma pergunta, confirmou 100. Perguntei-lhe se juntando as duas, com quantas unidades ficaria. Após pensar por um tempo, respondeu duzentos. Mandei-a escrever na tabela que estava no quadro ela então desenhou no espaço que havia para escrever o numeral um pequeno quadro valor de lugar (qvl) e colocou o 2 na coluna da centena. A partir daí, desenhou qvl em todos os espaços e escreveu corretamente números até 290. Ao chegar lá, novamente empacou e não escreveu 300.

Voltamos ao material dourado e pedi que formasse 290, desta vez o fez com facilidade, pegando duas placas e nove barras, pedi-lhe que acrescentasse dez e ela pegou outra barra, trocando-as imediatamente por outra placa. Levou um tempo somando as três placas e colocou no quadro (ainda amparado por qvl) o numeral 300. Depois disso, ao chegar ao 390, não teve dúvida e cravou o 400, sem qualquer hesitação.

Pedi-lhe então que escrevesse, numa folha, números de 10 em 10 até mil e ela o fez, sem dificuldade.

Explicadora em Botafogo

Explicadora? Não. Mediadora.


Resgate o prazer de aprender


1º ao 5º ano do Ensino Fundamental


Aprendizado através de raciocínio lógico, memória e argumentação.
Utilização de material didático pedagógico diferenciado.


Grupos de até 5 educandos.


Inscrições realizadas até maio de 2012: R$ 150,00 mensais - 3 horas-aula semanais (terça/quinta-quarta/sexta)


Professora Solange


Tel.: 94043218 - Botafogo